5.1 Obroty

Do opisania obrotów wykorzystano układ współrzędnych O x₀ y₀ z₀ następnie przyjęto wektor r (rys.5.1), z którym związano układ współrzędnych O x₁ y₁ z₁. Należy rozważyć, jakie zależności występują między współrzędnymi wektora r w układzie współrzędnych O x₁ y₁ z₁, a współrzędnymi tego wektora w stałym (nieobróconym) układzie odniesienia O x₀ y₀ z₀. Przez r₀ oznaczono położenie wektora r przed obrotem. Natomiast przez {i₀, j₀, k₀} oznaczono standardową bazę ortogonalną w układzie O x₀ y₀ z₀; gdzie i₀, j₀, k₀ są wektorami jednostkowymi (wersorami) odpowiednio wzdłuż osi x₀, y₀, z₀. Analogicznie {i₁, j₁, k₁} będzie standardową bazą ortogonalną w układzie O x₁ y₁ z₁.

Wektor  przedstawiono w układzie O x₀ y₀ z₀ następująco:

                                                                 (5.1)

Natomiast ten sam wektor przedstawiono w układzie O x₁ y₁ z₁ następująco:

                                                                   (5.2)

Wektor  jest reprezentowany przez wektory r₀ i r₁ tak, więc związki pomiędzy składowymi wektora  w obu układach współrzędnych zapisano w postaci:

                                          (5.3)

Analogiczne wzory otrzymano dla składowych r_0,y i r_0,z:

                                                        (5.4)

                                                        (5.5)

Równania (5.3), (5.4), (5.5) przedstawiono w postaci równania wektorowego następująco:

                                                                            (5.6)

Macierz R_1,0 reprezentuje przekształcenie punktu P ze współrzędnych w układzie   O x₁ y₁ z₁ na współrzędne w układzie O x₀ y₀ z₀ i zapisano ją w postaci:

                                                       (5.7)

Jeżeli punkt w układzie O x₁ y₁ z₁ określono za pomocą wektora r₁, wówczas:

                                                           (5.8)

                                                           (5.9)

                                                               (5.10)

Zapis powyższych równań w postaci macierzowej jest następujący:

                                                                            (5.11)

Macierz R_0,1 reprezentuje przekształcenie punktu P ze współrzędnych w układzie   O x₀ y₀ z₀ na współrzędne w układzie O x₁ y₁ z₁ i zapisano ją w postaci:

                                                       (5.12)

Macierz R_0,1 reprezentuje przekształcenie odwrotne do przekształcenia R_1,0:

                                                                                  (5.13)

Macierz, której odwrotnością jest macierz transponowana nazywa się macierzą ortogonalną. Ograniczając się do prawoskrętnego układu współrzędnych, wtedy  det R_1,0 = ą 1. Macierze ortogonalne o wyznaczniku  +1 są nazywane macierzami obrotu lub rotacji.

Rozwiązanie:

Z analizy rys.5.3 wynika, iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco uwzględniając, iż iloczyn długości odpowiednich wersorów jest równy jedności:

Tak, więc przekształcenie R_1,0 przedstawiono ostatecznie w postaci:

Powyższą macierz nazwano podstawową macierzą obrotu lub rotacji (wokół osi z). Ze względów praktycznych wygodniejszy jest zapis R_z,q zamiast R_1,0 do oznaczenia obliczonej symbolicznie macierzy. Poniżej w tabeli 5.1 zamieszczono kod przygotowany w programie Maple^TM.

Tabela 5.1 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.1.

Rozwiązanie:

Dokonując analogiczną analizę do przykładu 5.1 można stwierdzić iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco uwzględniając, iż iloczyn długości odpowiednich wersorów jest równy jedności:

W analizowanym przekształceniu macierz R_1,0 przedstawiono w postaci:

Poniżej w tabeli 5.2 zamieszczono kod przygotowany w programie Maple^TM.

Tabela 5.2 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.2.

Rozwiązanie:

Analizując obrót układu względem osi x można stwierdzić iż cosinusy kierunkowe dla poszczególnych wersorów można zapisać następująco uwzględniając, iż iloczyn długości odpowiednich wersorów jest równy jedności:

W analizowanym przekształceniu macierz R_1,0 przedstawiono w postaci:

Poniżej w tabeli 5.3 zamieszczono kod przygotowany w programie Maple^TM.

Tabela 5.3 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.3.

Przedstawione macierze obrotu (5.14) względem poszczególnych osi posłużą w dalszej części rozważań do przedstawienia formalizmu matematycznego zdolnego opisywać obroty i przemieszczenia poszczególnych członów robotów.

                                                                                               (5.14)

Można także interpretować daną macierz obrotu jako macierz wyznaczającą orientację układu współrzędnych O x₁ y₁ z₁ względem O x₀ y₀ z₀, gdyż kolumny macierzy R_1,0 są cosinusami kierunkowymi osi układu O x₁ y₁ z₁ w stosunku do osi układu O x₀ y₀ z₀.

Rozwiązanie:

Po wykonaniu obrotu względem osi z wektor r zmieni swoje położenie względem układu O x₀ y₀ z₀ , co przedstawiono na rys.5.9.     

Należy zauważyć iż współrzędne wektora r względem układu O x₁ y₁ z₁ będą wynosiły r=[2,1,0], natomiast współrzędne wektora r względem układu O x₀ y₀ z₀ można wyznaczyć wykorzystując macierz obrotu względem osi z, co przedstawiono powyżej. Poniżej w tabeli 5.4 zamieszczono kod przygotowany w programie Maple^TM.

Tabela 5.4 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.4.

Z przedstawionej analizy wektorowej (zależność 5.12, 5.13) wynika iż można również wykonywać operacje odwrotne do tych które przedstawiono w przykładzie 5.4.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć współrzędne wektora r przed obrotem względem osi z (rys.5.11) należy wykorzystać macierz obrotu względem odpowiedniej osi a następnie transponować ją. Transponowana macierz powinna zostać pomnożona z wektorem r₁.

Podobnie jak w przypadku poprzednich przykładów poniżej w tabeli 5.5 przedstawiono kod przygotowany w programie Maple^TM. 

Tabela 5.5 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.5.

Należy zauważyć iż w przypadku obracania wektora wraz z układem jego współrzędne względem układu O x₁ y₁ z₁ będą takie same jak współrzędne wektora r przed obrotem względem układu O x₀ y₀ z₀.