5.2. Składanie obrotów

Macierz R_1,0 opisuje obrót między układami współrzędnych O x₀ y₀ z₀ i O x₁ y₁ z₁. Jeżeli zostanie dołożony trzeci układ współrzędnych O x₂ y₂ z₂ powiązany z układami O x₀ y₀ z₀ i O x₁ y₁ z₁ przez obroty, to w takim przypadku punkt P może być reprezentowany na trzy sposoby przez wektory r₀, r₁, r₂ w trzech układach współrzędnych. Związki pomiędzy tymi reprezentacjami punktu przedstawiono następująco:

                                                                               (5.15)

                                                                              (5.16)

                                                                           (5.17)

Macierze R_1,0 i R_2,0 reprezentują obroty względem osi układu O x₀ y₀ z₀, natomiast R_2,1 reprezentuje obrót względem układu O x₁ y₁ z₁. Podstawiając wzór (5.17) do równania (5.15) otrzymano:

                                                                     (5.18)

Po porównaniu równań (5.16) i (5.18) otrzymano równość:

                                                                    (5.19)

Powyższe równanie jest prawem składania dla obrotów. Innymi słowy aby przekształcić współrzędne punktu P z jego reprezentacji r₂ w układzie O x₂ y₂ z₂ na reprezentację r₀  w układzie O x₀ y₀ z₀, można ją najpierw przekształcić na jego reprezentację r₁ w układzie O x₁ y₁ z₁, używając macierzy R_2,1, a następnie przekształcić r₁ na r₀ używając macierzy R_1,0.

Równanie (5.18) można interpretować następująco. Założono, iż na początku wszystkie trzy układy pokrywają się. W pierwszej fazie obracany jest układ          O x₁ y₁ z₁ względem układu O x₀ y₀ z₀ zgodnie z przekształceniem R_1,0. W fazie drugiej przy pokrywających się układach O x₁ y₁ z₁ i O x₂ y₂ z₂, następuje obrót układu O x₂ y₂ z₂ względem układach O x₁ y₁ z₁ zgodnie z przekształceniem R_2,1.   W każdym przypadku układ, względem którego odbywa się obrót, nazywa się układem bieżącym.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać przedstawione zadanie należy dokonać złożenia ruchów, tak więc macierz R powstaje z wymnożenia macierzy obrotu względem osi y z macierzą obrotu względem osi z. Na rys.5.13 i rys.5.14 przedstawiono poszczególne etapy obrotów.

Wyznaczona macierz R_2,0 transformuje układ O x₂ y₂ z₂ do układu O x₀ y₀ z₀, tak więc współrzędne wektora r₂ względem układu O x₀ y₀ z₀ są następujące:

Poniżej w tabeli 5.6 przedstawiono kod przygotowany w programie Maple^TM. 

Tabela 5.6 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.6.

Rozwiązanie:

W tym przykładzie zaistniała sytuacja odwrotna do tej z przykładu 5.6 należy dokonać złożenia ruchów w następującej kolejności, należy wymnożyć macierz obrotu względem osi z z macierzą obrotu względem osi y. Na rys.5.16 i rys.5.17 przedstawiono poszczególne etapy obrotów.

Wyznaczona macierz R_2,0 transformuje układ O x₂ y₂ z₂ do układu O x₀ y₀ z₀, tak więc współrzędne wektora r₂ względem układu O x₀ y₀ z₀ są następujące:

Poniżej w tabeli 5.7 przedstawiono kod przygotowany w programie Maple^TM. 

Tabela 5.7 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.7.

Jak widać na przykładzie 5.6 i 5.7 bardzo istotna jest kolejność mnożenia macierzy, obrót w przeciwieństwie do położenia nie jest wielkością wektorową i nie podlega prawu dodawania wektorów, wynika z tego, iż składanie obrotów na ogół nie jest przemienne.

Rozwiązanie:

W tym przypadku układ O x₀ y₀ z₀ jest układem ustalonym tak więc wcześniej określone prawo składania nie jest prawdziwe, natomiast właściwym prawem składania jest mnożenie kolejnych macierzy obrotów w kolejności odwrotnej do podanej wzorem (5.19). Należy zauważyć, że same obroty nie są wykonywane w odwrotnej kolejności, a raczej są one wykonywane wokół układu ustalonego niż bieżącego. Na rys.5.19 i rys.5.20 przedstawiono poszczególne etapy obrotów.

W pierwszej fazie osie ustalone i bieżące są te same, czyli O x₀ y₀ z₀ co umożliwia zapisanie przekształcenia w postaci:

W drugiej fazie następuje obrót wokół ustalonego układu O x₀ y₀ z₀, a nie bieżącego układu  O x₁ y₁ z₁ dlatego nie można stwierdzić, czy zachodzi zależność:

W takim wypadku należy cofnąć poprzedni obrót, a następnie wykonać obrót wokół osi z₀ i na koniec przywrócić wyjściowe przekształcenie, czyli:

Podstawiając do równania opisującego wektor r w układzie O x₀ y₀ z₀ zależność przedstawioną powyżej i reprezentującą wektor r w układzie O x₁ y₁ z₁ otrzymano:

Dla danego układu ustalonego O x₀ y₀ z₀, układu bieżącego O x₁ y₁ z₁ i macierzy obrotu R_1,0 wiążącej te układy, jeżeli trzeci układ O x₂ y₂ z₂ jest otrzymany przez obrót R_2,1 wykonany względem układu bieżącego, to aby otrzymać obrót R_2,0 należy pomnożyć prawostronnie macierz R_1,0 z R_2,1:

Natomiast, gdy drugi obrót ma być wykonany względem układu ustalonego, należy dokonać mnożenia lewostronnie macierzy R_1,0 z R_2,1 w wyniku takiej operacji otrzymano:

Macierz R_2,0 reprezentuje zawsze przekształcenie między układami O x₀ y₀ z₀ i      O x₂ y₂ z₂.

Wyznaczona macierz R_2,0 transformuje układ O x₂ y₂ z₂ do układu O x₀ y₀ z₀, tak więc współrzędne wektora r₂ względem układu O x₀ y₀ z₀ są następujące:

Poniżej w tabeli 5.8 przedstawiono kod przygotowany w programie Maple^TM. 

Tabela 5.8 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 5.8.