5.3. Przekształcenia jednorodne

Oprócz bardzo istotnych operacji związanych z obrotami nasuwa się pytanie jak opisać przesunięcia pomiędzy poszczególnymi układami. Poniżej przedstawiono następującą sytuację, ustalono układ współrzędnych O x₀ y₀ z₀, a następnie dokonano przesunięcia równoległego układu O x₁ y₁ z₁ o odległość |d_1,0|, tak jak przedstawiono to na rys.5.21.

Wektory jednostkowe i₀ j₀ k₀ są odpowiednio równoległe do wektorów i₁ j₁ k₁, natomiast wektor d_1,0  jest wektorem o początku w punkcie O₀, a końcu w punkcie O₁ wyrażonym w układzie współrzędnych O x₀ y₀ z₀.

Jeżeli z układami współrzędnych będzie związany wektor r to będzie on posiadał  reprezentacje r₀ i r₁, ponieważ odpowiednie osie w tych układach współrzędnych są równoległe, wektory te powiązano zależnością:

                                                                         (5.20)

Zależność (5.20) można zapisać w postaci składowych wektora p₀ następująco:

                                                                           (5.21)

Pomiędzy układem O x₀ y₀ z₀ i układem O x₁ y₁ z₁ występuje związek, który może być  wyrażony  przez  kombinację  obrotu  i  przesunięcia, co  określono  jako  ruch

sztywny. Poniższe równanie jest definicją ruchu sztywnego, jeżeli macierz R jest ortogonalna.

(5.22)

Jeżeli występują dwa ruchy sztywne wtedy:

                                                                            (5.23)

                                                                    (5.24)

Podstawiając do równania (5.23), równanie (5.24) opisano trzeci ruch sztywny i otrzymano:

                                                           (5.25)

                                                                             (5.26)

Po dokonaniu porównania  równań (5.25) i (5.26) otrzymano równości:

                                                                              (5.27)

                                                               (5.28)

Analiza równa (5.27) pokazuje, że przekształcenia orientacji mogą być po prostu mnożone, a równanie (5.28) przedstawia, że wektor od początku O₀ do początku O₂ jest sumą wektorową wektora d_1,0 od O₀ do O₁ i wektora R_1,0d_1,0 od O₁ do O₂  wyrażonych w orientacji układu współrzędnych O x₀ y₀ z₀.

                    (5.29)

każda z przedstawionych powyżej macierzy ma wymiar 4´4, gdzie 0 oznacza (000), taki zapis umożliwia stwierdzenie, że ruchy sztywne mogą być reprezentowane przez zbiór macierzy o postaci:

                                      (5.30)

perspektywa, które  w  niniejszym opracowaniu  zawsze będą  miały przedstawioną  

postać. Macierz (5.30) nazwano przekształceniem jednorodnym. Ponieważ macierz R jest ortogonalna, łatwo jest pokazać, że przekształcenie odwrotne H^-1 jest określone następująco:

                                                                     (5.31)

Ponieważ w kartezjańskim układzie współrzędnych występuje 6 stopni swobody tak, więc zbiór wszystkich podstawowych przekształceń jednorodnych definiuje 6 macierzy, które zapisano poniżej:

                                                                                                                     (5.32)

Tak, więc na podstawie macierzy (5.32) można określić położenie i orientacje dowolnego układu w przestrzeni.