5.6. Kinematyka odwrotna

W kinematyce prostej pokazano jak określać pozycję i orientację końcówki roboczej w zależności od zmiennych przegubowych. Natomiast kinematyka odwrotna polega na znalezieniu zmiennych przegubowych w zależności od pozycji i orientacji końcówki roboczej. W ogólnym przypadku jest ono trudniejsze niż zadanie kinematyki prostej ponieważ czasami nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie wynikające z nieliniowości równań kinematyki. Problem kinematyki odwrotnej można przedstawić następująco. Dana jest jednorodna macierz przekształcenia w postaci 4´4 (5.30):

(5.34)

należy znaleźć (jedno lub wszystkie) rozwiązania równania:

                                                                                  (5.35)

gdzie

(5.36)

Równanie (5.35) daje 12 nieliniowych równań z n niewiadomymi, które mogą być zapisane jako:

                               (5.37)

gdzie T_ij, h_ij oznaczają 12 nieliniowych elementów macierzy, odpowiednio T_n,0 i H. (Ponieważ dolne wiersze obu macierzy T_n,0 i H wynoszą (0,0,0,1), więc spośród 16 równań reprezentowanych przez zależność (5.35) cztery są niewykorzystywane.

Podobnie jak w przypadku kinematyki prostej istnieje kilka sposobów rozwiązywania tego typu zagadnień w zależności od stopnia skomplikowania struktury manipulatora. Tak więc można próbować rozwiązać zadanie geometrycznie lub analitycznie (bazując na notacji DH).

Rozwiązanie

Równania kinematyki prostej są najczęściej nieliniowe co powoduje, że równania nie są proste do rozwiązania, a czasami nie istnieje jednoznaczne  ich rozwiązanie. Na przykład w przypadku dwuczłonowego mechanizmu płaskiego może nie być w ogóle rozwiązania, gdy współrzędne (x,y) są poza zasięgiem manipulatora.

Może istnieć jedno rozwiązanie, jeśli manipulator ma całkowicie wyprostowane ramiona. Gdy współrzędne (x,y) mieszczą się w zasięgu manipulatora, mogą istnieć dwa rozwiązania, tak jak to pokazano na rys.5.42, czyli konfiguracje "łokieć do góry" i "łokieć w dół". Rozwiązując to zadanie metodą geometryczną można zapisać (rys.43):

Wykorzystując prawo sinusów zapisano:

następnie można napisać iż pierwsza współrzędna złączowa ma postać:

gdzie:

uwaga!: należy zaznaczyć iż kąt a jest związana z wartością funkcji tangens w odpowiedniej ćwiartce układu współrzędnych. 

ostatecznie q₁ można zapisać w postaci:

Wykorzystując prawo cosinusów zapisanoq₂ w postaci:

Analizując powyższe rozwiązanie można stwierdzić iż rozwiązując zadanie odwrotne kinematyki dla tego 2-członowego manipulatora można otrzymać kilka rozwiązań (rys.42). Poniżej w tabeli 5.21 zamieszczono kod w programie Maple^TM umożliwiający rozwiązanie powyższego przykładu.

Tabela 5.21 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla rozwiązania graficznego.

Istnieje możliwość rozwiązania kinematyki odwrotnej również w sposób analityczny wykorzystując odpowiednie zależności trygonometryczne lub wykorzystanie Notacji Denavita-Hartenberga. Poniżej przedstawiono sposób rozwiązania analitycznego manipulatora 2-członowego wykorzystując Notację DH oraz program do obliczeń symbolicznych Maple^TM.

Aby rozwiązać kinematykę odwrotną z wykorzystaniem Notacji DH (zależności 5.34, 5.35, 5.36, 5.37) należy wykorzystać macierz T_2,0 otrzymaną dla tego manipulatora z zadania prostego kinematyki (przykład 5.9):

następnie znając pozycję i orientację końcówki efektora w przestrzeni porównać odpowiednie komórki w macierzy T_2,0. W analizowanym przypadku znana jest pozycja efektora C (x,y) oraz widać z macierzy T_2,0, iż układ posiada 2 stopnie swobody, tak więc wystarczy wykorzystać 2 równania aby wyznaczyć współrzędne złączowe.

tak przygotowany układ równań należy rozwiązać np. w programie do obliczeń symbolicznych Maple^TM tak jak przedstawiono to w tabeli 5.22.

Tabela 5.22 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla rozwiązania analitycznego.

W celu interpretacji rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla        przykładu 5.15 przyjęto parametry konstrukcyjne a₁=0.1 [m], a₂=0.2 [m]. Natomiast pozycja w przestrzeni została określona przez współrzędne x=0.2 [m], y=0.1 [m].

Wykonując obliczenia z wykorzystaniem programu Maple^TM (Tabela 5.22) otrzymano następujące rozwiązanie:  

Otrzymane rozwiązanie należy poddać interpretacji geometrycznej. Wynik pierwszy jest osiągalny przez analizowaną strukturę i jest to prawidłowe rozwiązanie przykładu, natomiast wynik 2 jest rozwiązaniem osobliwym czyli niemożliwym do osiągnięcia z punktu widzenia geometrycznego. 

Rozwiązanie

Podobnie jak w przykładzie 5.15 zaprezentowano rozwiązanie analityczne oparte na notacji Denavita-Hartenberga:

tak przygotowany układ równań należy rozwiązać np. w programie do obliczeń symbolicznych Maple^TM tak jak przedstawiono to w tabeli 5.23.

Tabela 5.23 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu5.16.

W celu interpretacji rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla        przykładu 5.16 przyjęto parametry konstrukcyjne a₁=1 [m]. Natomiast pozycja w przestrzeni została określona przez współrzędne x=1.5 [m], y=0 [m].

Wykonując obliczenia z wykorzystaniem programu Maple^TM (Tabela 5.23) otrzymano następujące rozwiązanie:  

Otrzymane rozwiązanie należy poddać interpretacji geometrycznej. Wynik drugi jest osiągalny przez analizowaną strukturę i jest to prawidłowe rozwiązanie przykładu, natomiast wynik 1 jest rozwiązaniem osobliwym czyli niemożliwym do osiągnięcia z punktu widzenia geometrycznego.