6.1 Równania Lagrange'a II rodzaju

Pierwszym krokiem w kierunku zapisu równań dynamiki jest przyjęcie współrzędnych uogólnionych q₁..q_n, które w pełni określają położenie układu, a E i V określono jako całkowitą energię kinetyczną i potencjalną układu. Następnie wprowadzono pojęcie funkcji Lagrange'a (potencjału kinetycznego) w postaci:

(6.1)

Postać dynamicznych równań ruchu zapisano następująco:

(6.2)

gdzie Q_i to uogólniona siła odpowiadająca uogólnionemu przemieszczeniu q_i. Siła ta może być określona  przez wyznaczenie pracy  przygotowanej wykonanej  przez

siły czynne (niezachowawcze) działające na układ.

Energię kinetyczną członu "i" opisano następującym wyrażeniem:

(6.3)

gdzie m_i - masa członu, v_i - prędkość liniowa członu, w_i - prędkość kątowa członu, J_i - moment bezwładności, określony względem prostej przechodzącej przez środek masy i wyrażony w układzie podstawy. Pierwszy składnik wzoru (6.3) oznacza energię kinetyczną ruchu postępowego z prędkością środka masy, a drugi - energię kinetyczną ruchu obrotowego. Wzór (6.3) obowiązuje gdy człon i wykonuje ruch postępowy i obrotowy w innym przypadku należy go odpowiednio zmodyfikować.

Całkowita energia kinetyczna manipulatora jest sumą energii kinetycznych poszczególnych członów:

(6.4)

Energię potencjalną członu "i" zapisano następująco:

                                                                                       (6.5)

gdzie g - przyspieszenie ziemskie, h_i - wysokość od zerowego poziomu odniesienia energii potencjalnej.

Analogicznie całkowita energia potencjalna manipulatora jest sumą energii potencjalnej poszczególnych członów:

(6.6)

Do sił uogólnionych Q_i zalicza się wszystkie siły i momenty działające na człony, z wyjątkiem sił ciężkości i bezwładności. Przyjęto, że w połączeniach ruchowych działają siły i momenty napędowe t=t₁..t_n, a zewnętrzne siły czynne działają na człon roboczy. Siła uogólniona może być wyznaczona przez obliczenia pracy przygotowanej wykonanej przez te siły.

Rozwiązanie:

Pierwszym krokiem w zapisie dynamicznych równań ruchu jest przyjęcie współrzędnych jednorodnych, ponieważ analizowany manipulator może się obracać względem punktu A tak wiec pierwszą współrzędną będzie kąt obrotu q₁.  Manipulator może również wysuwać drugi człon (ruch postępowy) na odległość l₂ (odległość pomiędzy punktami A i E na rys.6.1). Odległość ta jest zmienna w czasie, co oznacza iż drugą współrzędną uogólnioną będzie właśnie l₂.

Wyznaczenie energii kinetycznej członu I:

Wyznaczenie energii kinetycznej członu II:

gdzie J_1z i J_2z to zastępcze momenty bezwładności liczone względem osi obrotu manipulatora.

Całkowita energia kinetyczna:

Wyznaczenie energii potencjalnej członu I:

Wyznaczenie energii potencjalnej członu II:

gdzie g to przyspieszenie ziemskie.

Całkowita energia potencjalna:

Zapisanie funkcji Lagrange'a zgodnie ze wzorem (6.1):

Wyznaczenie odpowiednich pochodnych zgodnie ze wzorem (6.2):

Zapisanie równań Lagrange'a dla analizowanego manipulatora zgodnie ze wzorem (6.2):

Powyższe dynamiczne równania ruchu umożliwiają analizę zadania prostego i odwrotnego dynamiki. Należy zauważyć, iż z pierwszego równania otrzymano matematyczny opis momentu jaki należy przyłożyć do członu I, natomiast z drugiego równania otrzymano opis siły jaką należy zastosować dla członu II. 

Poniżej w tabeli 6.1 przedstawiono zapis funkcji w programie Maple^TM umożliwiający rozwiązanie powyższego zadania. 

Tabela 6.1 Zapis funkcji w programie Maple^TM dla przykładu 6.1.