6.2. Równania Newtona-Eulera

W formalizmie Newtona-Eulera odwrotnie jak w formalizmie Lagrange'a manipulator traktuje się nie jako całość, lecz każdy człon jest traktowany oddzielnie i zapisywane są równania opisujące jego ruch postępowy i obrotowy. Ponieważ każdy człon jest połączony z innymi członami, równania opisujące ten człon zawierają sprzężenia od sił i momentów, które pojawiają się także w równaniach opisujących sąsiednie człony. Siłę F, działającą w środku masy ciała i wywołującą ruch z przyspieszeniem v_s określono przez równanie Newtona:

                                                                                                (6.7)

Moment M, który musi być wywierany na ciało, aby wywołać ruch obrotowy z przyspieszeniem kątowym w, jest dany przez równanie Eulera:

 (6.8)

gdzie S_I oznacza tensor bezwładności ciała, określony w układzie {S} o początku w środku masy ciała.

Po obliczeniu przyspieszenia środka masy oraz prędkości i przyspieszenia kątowego członu, określonego w układzie tego członu, można według równań (6.7) i (6.8) obliczyć siłę i moment bezwładności. Następnie należy obliczyć siły i momenty napędowe w połączeniach ruchowych. Można to uczynić pisząc równania równowagi sił i momentów działających na każdy wydzielony człon, uzupełnione o siły i momenty bezwładności. Ponieważ siły i momenty bezwładności są określone w układzie związanym z członem, to również siły i momenty oddziaływań członów sąsiadujących powinny być określone w tym samym układzie.

Siłę grawitacji można uwzględnić wprowadzając do równań zależność gdzie g jest wektorem przyspieszenia grawitacji, a dodatkowo zdefiniowane przyspieszenie jest fikcyjnym przyspieszeniem podstawy w kierunku pionowym do góry, które powoduje taki sam skutek, jak efekt sił ciężkości. W ten sposób bez dodatkowych operacji obliczeniowych uwzględniono efekt ciążenia w siłach bezwładności członów. Równania równowagi sił i momentów działających na człon "i" zapisane w układzie tego członu określono następująco:

                                                                          (6.9)

(6.10)

gdzie:

B_i+1,i- macierz obrotu układu "i+1" względem układu "i"

r_Si- wektor położenia środka masy S_i członu "i" względem początku układu "i"

p_i+1,i - wektor położenia O_i+1 początku układu "i+1" względem O_i - początku układu "i"

R_i+1,i , M_i+1,i - siła i moment oddziaływania członu "i+1" na człon "i"