PATRONI ROBOTYKI:
 

TEORIA ROBOTYKI

5.3. Przekształcenia jednorodne

Oprócz bardzo istotnych operacji związanych z obrotami nasuwa się pytanie jak opisać przesunięcia pomiędzy poszczególnymi układami. Poniżej przedstawiono następującą sytuację, ustalono układ współrzędnych O x0 y0 z0, a następnie dokonano przesunięcia równoległego układu O x1 y1 z1 o odległość |d1,0|, tak jak przedstawiono to na rys. 5.21. 

Wektory jednostkowe i0 j0 k0 są odpowiednio równoległe do wektorów i1 j1 k1, natomiast wektor d1,0  jest wektorem o początku w punkcie O0, a końcu w punkcie O1 wyrażonym w układzie współrzędnych O x0y0 z0.

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image315.jpg

Rysunek 5.21 Widok układów po równoległym przesunięciu

Jeżeli z układami współrzędnych będzie związany wektor r to będzie on posiadał reprezentacje r0 i r1,ponieważ odpowiednie osie w tych układach współrzędnych są równoległe, wektory te powiązano zależnością:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image316.gif

 (5.20)

Zależność (5.20) można zapisać w postaci składowych wektora p0 następująco:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image317.gif

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image318.gif

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image319.gif

(5.21)

Pomiędzy układem O x0 y0 z0 i układem O x1 y1 z1występuje związek, który może być  wyrażony  przez  kombinację  obrotu  i  przesunięcia, co  określono  jako  ruch sztywny. Poniższe równanie jest definicją ruchu sztywnego, jeżeli macierz R jest ortogonalna.

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image320.gif

(5.22)

Jeżeli występują dwa ruchy sztywne wtedy:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image321.gif

    (5.23)

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image322.gif

    (5.24)

Podstawiając do równania (5.23), równanie (5.24) opisano trzeci ruch sztywny i otrzymano:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image323.gif

(5.25)

Pomiędzy wektorami r0 i r1 występuje ruch sztywny, można zapisać równanie ruchu w postaci:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image324.gif

(5.26)

Po dokonaniu porównania  równań (5.25) i (5.26) otrzymano równości:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image313.gif

(5.27)

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image325.gif

(5.28)

Analiza równa (5.27) pokazuje, że przekształcenia orientacji mogą być po prostu mnożone, a równanie (5.28) przedstawia, że wektor od początku O0 do początku O2 jest sumą wektorową wektora d1,0 od O0 do O1 i wektora R1,0d1,0od O1 do O wyrażonych w orientacji układu współrzędnych O x0 y0 z0.

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image326.gif

 (5.29)

Każda z przedstawionych powyżej macierzy ma wymiar 4´4, gdzie 0 oznacza (000), taki zapis umożliwia stwierdzenie, że ruchy sztywne mogą być reprezentowane przez zbiór macierzy o postaci: 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image328.gifhttp://www.robotyka.com/teoria/grafika/image327.gif 

(5.30)

 

W przedstawionym powyżej równaniu n=(nx ny nz)T jest wektorem reprezentującym kierunek osi O1x1 w układzie O x0 y0 z0, s=(sx sy sz)T reprezentuje kierunek osi O1y1, natomiast a=(ax ay az)T reprezentuje kierunek osi O1z1. Wektor d=(dx dy dz)T jest reprezentacją wektora od początku O0 do początku O1 wyrażony w układzie O x0 y0 z0.  W macierzy Hwystępują również  takie wielkości jak skala i perspektywa, które  w  niniejszym opracowaniu  zawsze będą  miały przedstawioną postać. Macierz (5.30) nazwano przekształceniem jednorodnym. Ponieważ macierz R jest ortogonalna, łatwo jest pokazać, że przekształcenie odwrotne H-1 jest określone następująco:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image329.gif

                                                               (5.31)

Ponieważ w kartezjańskim układzie współrzędnych występuje 6 stopni swobody tak, więc zbiór wszystkich podstawowych przekształceń jednorodnych definiuje 6 macierzy, które zapisano poniżej:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image330.gifhttp://www.robotyka.com/teoria/grafika/image331.gifhttp://www.robotyka.com/teoria/grafika/image332.gif

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image333.gifhttp://www.robotyka.com/teoria/grafika/image334.gifhttp://www.robotyka.com/teoria/grafika/image335.gif

(5.32)

Tak, więc na podstawie macierzy (5.32) można określić położenie i orientacje dowolnego układu w przestrzeni.