PATRONI ROBOTYKI:
 

TEORIA ROBOTYKI

6.2. Równania Newtona-Eulera

W formalizmie Newtona-Eulera odwrotnie jak w formalizmie Lagrange'a manipulator traktuje się nie jako całość, lecz każdy człon jest traktowany oddzielnie i zapisywane są równania opisujące jego ruch postępowy i obrotowy. Ponieważ każdy człon jest połączony z innymi członami, równania opisujące ten człon zawierają sprzężenia od sił i momentów, które pojawiają się także w równaniach opisujących sąsiednie człony. Siłę F, działającą w środku masy ciała i wywołującą ruch z przyspieszeniem vs określono przez równanie Newtona:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image486.gif

(6.7)

Moment M, który musi być wywierany na ciało, aby wywołać ruch obrotowy z przyspieszeniem kątowym w, jest dany przez równanie Eulera:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image487.gif

(6.8)

Gdzie SI oznacza tensor bezwładności ciała, określony w układzie {S} o początku w środku masy ciała.

Po obliczeniu przyspieszenia środka masy oraz prędkości i przyspieszenia kątowego członu, określonego w układzie tego członu, można według równań (6.7) i (6.8) obliczyć siłę i moment bezwładności. Następnie należy obliczyć siły i momenty napędowe w połączeniach ruchowych. Można to uczynić pisząc równania równowagi sił i momentów działających na każdy wydzielony człon, uzupełnione o siły i momenty bezwładności. Ponieważ siły i momenty bezwładności są określone w układzie związanym z członem, to również siły i momenty oddziaływań członów sąsiadujących powinny być określone w tym samym układzie. Siłę grawitacji można uwzględnić wprowadzając do równań zależność gdzie g jest wektorem przyspieszenia grawitacji, a dodatkowo zdefiniowane przyspieszenie jest fikcyjnym przyspieszeniem podstawy w kierunku pionowym do góry, które powoduje taki sam skutek, jak efekt sił ciężkości. W ten sposób bez dodatkowych operacji obliczeniowych uwzględniono efekt ciążenia w siłach bezwładności członów. Równania równowagi sił i momentów działających na człon "i" zapisane w układzie tego członu określono następująco:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image488.gif

(6.9)

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image489.gif

(6.10)

Gdzie:

Bi+1, i - macierz obrotu układu "i+1" względem układu "i"

rSi- wektor położenia środka masy Si członu "i" względem początku układu "i"

pi+1,i - wektor położenia Oi+1 początku układu "i+1" względem Oi - początku układu "i"

Ri+1,i , Mi+1,i - siła i moment oddziaływania członu "i+1" na człon "i"