PATRONI ROBOTYKI:
 

TEORIA ROBOTYKI

6.3. Dynamika prosta

Jak wcześniej wspomniano w zadaniu prostym dynamiki znane jest przemieszczenie, prędkości oraz przyspieszenia, a należy wyznaczyć wektor sił i momentów napędowych t. Rozwiązanie tego zadania jest bardzo istotne z punktu widzenia sterowania.

Przykład 6.2

Rozwiązać zadanie proste dynamiki, czyli wyznaczyć siły i momenty działające na dwuczłonowy manipulator z  przykładu 6.1, mając następujące dane: masa członu I m1=3 [kg], długość członu I l1=0.2[m], moment bezwładności I członu J1=0.38 [kg×m2], masa członu II m2=1.5 [kg], moment bezwładności II członu J2=0.1 [kg×m2] oraz przyspieszenie ziemskie g=9.81 [m/s2]. Wiadomo iż manipulator w chwili początkowej pozostawał w spoczynku (rys.6.2) a następnie obrócił się o 90° z pozycji poziomej do pozycji pionowej, jednocześnie drugi człon wykonał ruch posuwisto zwrotny o 0.325 [m]. Całkowity czas ruchu manipulatora wyniósł t=0.7 [s]. Znane są również przebiegi czasowe przemieszczenia liniowego i kątowego poszczególnych członów, przedstawione na rys.6.3.

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image490.gif

Rysunek 6.2 Model ruchu dla manipulatora dwuczłonowego.

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image491.jpg

Rysunek 6.3 Przebiegi czasowe przemieszczenia kątowego członu I i przemieszczenia liniowego członu II.

 

Rozwiązanie:

W celu rozwiązania zadania prostego dynamiki wykorzystano dynamiczne równania ruchu wyznaczone dla przykładu 6.1, traktując analizowany układ nadal jako zachowawczy,  w postaci:

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image492.gif

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image493.gif

Do obliczeń wykorzystano program  MapleTM, w którym podstawiono dane liczbowe do równań i przygotowano je do symulacji w środowisku programu MatlabTM-Simulink. Poniżej przedstawiono zapis funkcji w programie MapleTM umożliwiający rozwiązanie zadania prostego dynamiki.

>     restart:

>     Digits:=2;

>             r1:=2*d(theta[1])*m[2]*lambda[2]*d(lambda[2])+(J[1]+m[1]*l[1]^2+J[2]+m[2]*lambda[2]^2)*d(d(theta[1]))+

m[1]*g*l[1]*cos(theta[1])+m[2]*g*lambda[2]*cos(theta[1])=tau[1];

>     r2:=m[2]*d(d(lambda[2]))-m[2]*lambda[2]*d(theta[1])^2 +m[2]*g*sin(theta[1])=tau[2];

>     m[1]:=3;

>     l[1]:=0.2;

>     J[1]:=0.38;

>     m[2]:=1.5;

>     J[2]:=0.1;

>     g:=9.81;

>             norma3:={theta[1]=u[1],d(theta[1])=u[2],d(d(theta[1]))=u[3],lambda[2]=u[4],d(lambda[2])=u[5],d(d(lambda[2]))=u[6]};

>     op(1,subs(norma3,r1)); 

>     op(1,subs(norma3,r2)); 

Wykorzystując program MatlabTM-Simulink przygotowano układ rozwiązujący zadanie proste dynamiki, przedstawiony na rys. 6.4. Aby poprawnie przeprowadzić symulację należy odpowiednio przyjąć jej parametry, zamieszczone również na rys. 6.4.

 

 

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image494.jpg

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image495.jpg

 

Rysunek 6.4 Układ rozwiązujący zadanie proste dynamiki dla przykładu 6.2

 

Na podstawie znanego przemieszczenia kątowego i liniowego (rys. 6.3) wyznaczono prędkości i przyspieszenia poszczególnych członów przedstawione na rys. 6.5, które następnie wykorzystano do rozwiązania zadania prostego dynamiki.

 

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image496.jpg

 

Ryunek .6.5 Przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia poszczególnych członów.

 

W wyniku przeprowadzonej symulacji komputerowej rozwiązano zadanie proste dynamiki dla analizowanego dwuczłonowego manipulatora, a rezultat obliczeń zamieszczono na rys. 6.6.

 

 

http://www.robotyka.com/teoria/grafika/image497.jpg

 

Rysunek 6.6 Przebiegi czasowe momentu dla członu I i siły dla członu II.

W podobny sposób można rozwiązywać zadanie proste dynamiki dla bardziej złożonych struktur manipulatorów.